Wheels of Fury - Hidden Object

"Desata la furia de las ruedas - Objeto oculto: ayuda a Eddie a rectificar el caos que ha causado en su habitación. Aspectos destacados: 10 etapas animadas, Acérquese para verlo más de cerca, 40 elementos por nivel, 400 objetos ocultos para descubrir, Sistema de bonificación implementado."<|endoftext|><|endoftext|> # 2006 Problemas de AMC 12B/Problema 6. (Redireccionado desde 2006 AMC 12B Problema 6) ## Problema. Un círculo de radio $r$ está inscrito en una esquina de un rectángulo como se muestra. La relación entre el largo del rectángulo y su ancho es $3:4$. ¿Cuál es el valor de $r$? [asy] tamaño de unidad (5 mm); lápiz predeterminado (ancho de línea (.8pt) + tamaño de fuente (8pt)); factor de punto=3; par A=(0,0), B=(4,0), C=(4,3), D=(0,3), O=(1,1); par[] punteado={A,B,C,D,O}; dibujar(A--B--C--D--ciclo); dibujar(Círculo(O,1)); punto(punteado); etiqueta("$r$",O,SE); [/asy] $\mathrm{(A)}\ \frac{3}{8}\qquad\mathrm{(B)}\ \frac{7}{16}\qquad\mathrm{(C)}\ \frac{1} {2}\qquad\mathrm{(D)}\ \frac{5}{8}\qquad\mathrm{(E)}\ \frac{2}{3}$ ## Solución. Sea la longitud del rectángulo $3x$ y el ancho $4x$. El diámetro del círculo es la longitud del rectángulo, por lo que es $3x$. El radio del círculo es la mitad del diámetro, por lo que es $\frac{3x}{2}$. El área del círculo es $\pi r^2$, por lo que es $\frac{9\pi x^2}{4}$. El área del rectángulo es $3x \cdot 4x = 12x^2$. El área del círculo es $\frac{9\pi x^2}{4}$, por lo que la razón entre el área del círculo y el área del rectángulo es $\frac{\frac{9\pi x^ 2}{4}}{12x^2} = \frac{3\pi}{16}$. La razón entre el área del círculo y el área del rectángulo también es igual a la razón entre la longitud del rectángulo y el ancho, que es $\frac{3}{4}$. Por lo tanto, $\frac{3\pi}{16} = \frac{3}{4}$, entonces $\pi = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$. El radio del círculo es $\frac{3x}{2}$, entonces $\frac{3x}{