Wheels of Fury - Hidden Object

"Libérez la fureur des roues - Objets cachés: aidez Eddie à rectifier le chaos qu'il a provoqué dans sa chambre. Points forts: 10 étapes animées, Zoomez pour voir de plus près, 40 objets par niveau, 400 objets cachés à découvrir, Système de bonus en place."<|endoftext|><|endoftext|> # 2006 Problèmes AMC 12B/Problème 6. (Redirigé depuis 2006 AMC 12B Problème 6) ## Problème. Un cercle de rayon $r$ est inscrit dans un coin d'un rectangle comme indiqué. Le rapport entre la longueur du rectangle et sa largeur est de 3:4$. Quelle est la valeur de $r$ ? [asy] taille de l'unité (5 mm); stylo par défaut (largeur de ligne (.8 pt) + taille de police (8 pt)); facteur de points = 3; paire A=(0,0), B=(4,0), C=(4,3), D=(0,3), O=(1,1) ; paire[] pointillé={A,B,C,D,O}; dessiner (A--B--C--D--cycle); dessiner(Cercle(O,1)); point(pointillé); étiquette("$r$",O,SE); [/asy] $\mathrm{(A)}\ \frac{3}{8}\qquad\mathrm{(B)}\ \frac{7}{16}\qquad\mathrm{(C)}\ \frac{1} {2}\qquad\mathrm{(D)}\ \frac{5}{8}\qquad\mathrm{(E)}\ \frac{2}{3}$ ## Solution. Soit la longueur du rectangle soit $3x$ et la largeur soit $4x$. Le diamètre du cercle est la longueur du rectangle, il vaut donc 3x$. Le rayon du cercle est la moitié du diamètre, il vaut donc $\frac{3x}{2}$. L'aire du cercle est $\pi r^2$, donc c'est $\frac{9\pi x^2}{4}$. L'aire du rectangle est $3x \cdot 4x = 12x^2$. L'aire du cercle est $\frac{9\pi x^2}{4}$, donc le rapport entre l'aire du cercle et l'aire du rectangle est $\frac{\frac{9\pi x^ 2}{4}}{12x^2} = \frac{3\pi}{16}$. Le rapport entre l'aire du cercle et l'aire du rectangle est également égal au rapport entre la longueur du rectangle et la largeur, qui est $\frac{3}{4}$. Par conséquent, $\frac{3\pi}{16} = \frac{3}{4}$, donc $\pi = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$. Le rayon du cercle est $\frac{3x}{2}$, donc $\frac{3x}{