Sea Empire: Winter lords

"Embarquez dans une conquête des îles voisines dans l'empire maritime: les seigneurs d'hiver en construisant une formidable flotte. Ce jeu possède des graphiques simples et offre diverses options de navire." <| Endoftext |> <| endoftext |> # 2006 Problèmes AMC 12B / Problème 1. (Redirigé à partir des problèmes AMC 12B 2006 / Problème 1) ## Problème. Quelle est la valeur de $ 2 ^ {- 3} +3 ^ {- 3} +4 ^ {- 3} + ... + 2006 ^ {- 3} +2007 ^ {- 3} $? $ \ text {(a)} \ frac {2007} {2 ^ 3} \ qquad \ text {(b)} \ frac {2007 ^ 2} {2 ^ 3} \ qquad \ text {(c)} \ frac {2007 ^ 2 + 2007} {2 ^ 3} \ qquad \ text {(d)} \ frac {2007 ^ 2 + 2007} {2 ^ 6} \ qquad \ text {(e)} \ frac {2007 ^ 2 +2007} {2 ^ 7} $ ## Solution. Nous pouvons réécrire l'expression comme \ begin {aligner *} 2 ^ {- 3} +3 ^ {- 3} +4 ^ {- 3} + ... + 2006 ^ {- 3} +2007 ^ {- 3} & = \ Left (2 ^ {- 3} +3 ^ {- 3} +4 ^ {- 3} + ... + 2006 ^ {- 3} \ droite) + 2007 ^ {- 3} \\ & = \ Left (\ frac { 1} {2 ^ 3} + \ frac {1} {3 ^ 3} + \ frac {1} {4 ^ 3} + ... + \ frac {1} {2006 ^ 3} \ droite) + \ frac {1} {2007 ^ 3} \\ & = \ frac {1} {8} + \ frac {1} {27} + \ frac {1} {64} + ... + \ frac {1} {2006 ^ 3} + \ frac {1} {2007 ^ 3} \\ & = \ Left (\ frac {1} {2 ^ 3} \ droite) ^ 3 + \ Left (\ frac {1} {3 ^ 3} \ droite) ^ 3 + \ Left (\ frac {1} {4 ^ 3} \ droite) ^ 3 + ... + \ Left (\ frac {1} {2006 ^ 3} \ droite) ^ 3 + \ Left (\ frac {1} {2007 ^ 3} \ droite) ^ 3 \\ & = \ Left (\ frac {1} {2 ^ 3} + \ frac {1} {3 ^ 3} + \ frac {1} {4 ^ 3} + ... + \ frac {1} {2006 ^ 3} + \ frac {1} {2007 ^ 3} \ droite) ^ 3 \\ & = \ Left (\ frac {1} {8 } + \ frac {1} {27} + \ frac {1} {64} + ... + \ frac {1} {2006 ^ 3} + \ frac {1} {2007 ^ 3} \ droite) ^ 3 \\ & = \ Left (\ frac {1} {8} + \ frac {1} {27} + \ frac