Wheels of Fury - Hidden Object

"Scatena la furia delle ruote - Oggetto nascosto: aiuta Eddie a correggere il caos che ha causato nella sua stanza. In evidenza: 10 livelli vivaci, ingrandisci per dare un'occhiata più da vicino, 40 oggetti per livello, 400 oggetti nascosti da scoprire, sistema di bonus in atto."<|endoftext|><|endoftext|> # 2006 AMC 12B Problemi/Problema 6. (Reindirizzato da AMC 12B Problema 6 del 2006) ## Problema. Una circonferenza di raggio $r$ è inscritta in un angolo di un rettangolo come mostrato. Il rapporto tra la lunghezza del rettangolo e la sua larghezza è $3:4$. Qual è il valore di $r$? [asy] dimensione dell'unità (5 mm); defaultpen(larghezzalinea(.8pt)+dimensionecarattere(8pt)); fattore punto=3; coppia A=(0,0), B=(4,0), C=(4,3), D=(0,3), O=(1,1); coppia[] puntato={A,B,C,D,O}; draw(A--B--C--D--ciclo); disegna(Cerchio(O,1)); punto(punteggiato); etichetta("$r$",O,SE); [/asi] $\mathrm{(A)}\ \frac{3}{8}\qquad\mathrm{(B)}\ \frac{7}{16}\qquad\mathrm{(C)}\ \frac{1} {2}\qquad\mathrm{(D)}\ \frac{5}{8}\qquad\mathrm{(E)}\ \frac{2}{3}$ ## Soluzione. Sia la lunghezza del rettangolo $3x$ e la larghezza $4x$. Il diametro del cerchio è la lunghezza del rettangolo, quindi vale $3x$. Il raggio del cerchio è la metà del diametro, quindi è $\frac{3x}{2}$. L'area del cerchio è $\pi r^2$, quindi è $\frac{9\pi x^2}{4}$. L'area del rettangolo è $3x \cdot 4x = 12x^2$. L'area del cerchio è $\frac{9\pi x^2}{4}$, quindi il rapporto tra l'area del cerchio e l'area del rettangolo è $\frac{\frac{9\pi x^ 2}{4}}{12x^2} = \frac{3\pi}{16}$. Anche il rapporto tra l'area del cerchio e l'area del rettangolo è uguale al rapporto tra la lunghezza del rettangolo e la larghezza, che è $\frac{3}{4}$. Pertanto, $\frac{3\pi}{16} = \frac{3}{4}$, quindi $\pi = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$. Il raggio del cerchio è $\frac{3x}{2}$, quindi $\frac{3x}{