Sea Empire: Winter lords

"Embarque em uma conquista de ilhas próximas no Império Sea: Senhores de Inverno, construindo uma frota formidável. Este jogo possui gráficos simples e oferece várias opções de navio." <| EndofText |> <| endoftext |> # 2006 AMC 12B Problemas/Problemas 1. (Redirecionado de 2006 AMC 12b Problemas / Problema 1) ## Problema. Qual é o valor de $ 2^{-3} +3^{-3} +4^{-3}+...+2006^{-3} +2007^{-3} $? $ \ text {(a)} \ frac {2007} {2^3} \ qquad \ text {(b)} \ frac {2007^2} {2^3} \ qquad \ text {(c)} \ frac {2007^2+2007} {2^3} \ qquad \ text {(d)} \ frac {2007^2+2007} {2^6} \ qquad \ text {(e)} \ frac {2007^2 +2007} {2^7} $ ## Solução. Podemos reescrever a expressão como \ begin {align*} 2^{-3} +3^{-3} +4^{-3}+...+2006^{-3} +2007^{-3} & = \ esquerda (2 ^{-3} +3^{-3} +4^{-3}+...+2006^{-3} \ direita)+2007^{-3} \\ & = \ esquerda (\ frac { 1} {2^3}+\ frac {1} {3^3}+\ frac {1} {4^3}+...+\ frac {1} {2006^3} \ direita)+\ frac {1} {2007^3} \\ & = \ frac {1} {8}+\ frac {1} {27}+\ frac {1} {64}+...+\ frac {1} {2006 ^3} + \ frac {1} {2007^3} \\ & = \ left (\ frac {1} {2^3} \ direita)^3 + \ esquerda (\ frac {1} {3^3} \ direita)^3+\ esquerda (\ frac {1} {4^3} \ direita)^3+...+\ esquerda (\ frac {1} {2006^3} \ direita)^3+\ esquerda (\ frac {1} {2007^3} \ direita)^3 \\ & = \ esquerda (\ frac {1} {2^3}+\ frac {1} {3^3}+\ frac {1} {4^3}+...+\ frac {1} {2006^3}+\ frac {1} {2007^3} \ direita)^3 \\ & = \ esquerda (\ frac {1} {8 }+\ frac {1} {27}+\ frac {1} {64}+...+\ frac {1} {2006^3}+\ frac {1} {2007^3} \ right)^3 \\ & = \ esquerda (\ frac {1} {8}+\ frac {1} {27}+\ frac