Wheels of Fury - Hidden Object

"Liberte a fúria das rodas - objeto oculto: ajude o intitulado Eddie na retificação do caos que ele causou em seu quarto. Destaques: 10 estágios animados, amplie o zoom para obter uma olhada mais de perto, 40 itens por nível, 400 objetos ocultos para descobrir, sistema de bônus no lugar. "<| EndofText |> <| endofText |> # 2006 AMC 12B Problemas/Problemas 6. (Redirecionado de 2006 AMC 12b Problema 6) ## Problema. Um círculo de raio $ r $ está inscrito em um canto de um retângulo, como mostrado. A proporção do comprimento do retângulo e sua largura é de US $ 3: 4 $. Qual é o valor de $ R $? [ASY] UnitSize (5mm); defaultPen (Linha Linhagem (.8pt)+FontSize (8pt)); DotFactor = 3; par a = (0,0), b = (4,0), c = (4,3), d = (0,3), o = (1,1); par [] pontilhado = {a, b, c, d, o}; desenhar (a-b-c-d-ciclo); desenhar (círculo (o, 1)); ponto (pontilhado); Label ("$ R $", O, SE); [/asy] $ \ Mathrm {(a)} \ \ frac {3} {8} \ qquad \ mathrm {(b)} \ \ frac {7} {16} \ qquad \ mathrm {(c)} \ \ \ frac {1} {2} \ qquad \ mathrm {(d)} \ \ frac {5} {8} \ qquad \ mathrm {(e)} \ \ frac {2} {3} $ ## Solução. Deixe que a duração do retângulo seja de US $ 3x $ e a largura seja $ 4x $. O diâmetro do círculo é o comprimento do retângulo, por isso é $ 3x $. O raio do círculo é metade do diâmetro, por isso é $ \ frac {3x} {2} $. A área do círculo é $ \ pi r^2 $, então é $ \ frac {9 \ pi x^2} {4} $. A área do retângulo é de US $ 3x \ cdot 4x = 12x^2 $. A área do círculo é $ \ frac {9 \ Pi X^2} {4} $, portanto a proporção da área do círculo para a área do retângulo é $ \ frac {\ frac {9 \ Pi X^ 2} {4}} {12x^2} = \ frac {3 \ pi} {16} $. A proporção da área do círculo para a área do retângulo também é igual à proporção do comprimento do retângulo e a largura, que é $ \ frac {3} {4} $. Portanto, $ \ frac {3 \ pi} {16} = \ frac {3} {4} $, então $ \ PI = \ frac {4} {16} = \ frac {1} {4} $. O raio do círculo é $ \ frac {3x} {2} $, então $ \ frac {3x} {